"Мыследействия или мыслесостояния"

[Виктор]

Пример, который непосредственно не связан с темой "мыследействие", -- но который может натолкнуть на некоторые соображения. Ответ в задаче про 4 числа, по-моему, созвучен теме: он о сохранении отношений, о сохранении состояния.

В октябре-декабре 2025 года я стал разбирать ряд олимпиадных задач, из сборника. И для меня было показательно, что многие задачи, вначале, поставили меня в тупик. Долгое отсутствие практики, -- да и недостаточный опыт в прошлом... Стремление продвинуться в моих нелокальных задачах, ранее, заставляло меня отодвинуть другие направления в математике.

Одна из задач, вообще решалась из простых соображений, -- но она вначале поставила меня в тупик. Доказать иррациональность числа 2 в степени 1/3 плюс 3 в степени 1/2.
В итоге, я, разумеется, составил уравнение шестой степени, корнем которого было это число. Коэффициенты целые, -- и рациональные корни являются делителями свободного члена... Всё понятно, но я, вначале, даже не помнил это правило!

Следующая задача, даже формулировка которой вызвала у меня вначале недоумение:

Пусть a, b, c, d — четвёрка действительных чисел. Образуем из неё новую четвёрку |b - a|, |c - b|, |d - c|, |a - d|. Далее будем повторять ту
же процедуру. Может ли случиться так, что ни на каком шаге не получится
четвёрка нулей?

Мои первые мысли: а почему они, вообще, должны обнуляться, они же, вначале, могут быть несоизмеримыми??? Например, одно из чисел, -- целое, а другие, -- трансцендентные, даже и в отношении друг с другом, -- тоже трансцендентные.

Но потом я подумал: такое, всё же, может быть, за счет большого числа шагов, и того, что они всё время "перетасовываются". По крайней мере, в том случае, если числа вначале целые, они же будут всё время уменьшать друг друга, -- по крайней мере, будет уменьшаться их максимум. Это может выглядеть, в этом случае, так: на некотором шаге появляются нули, и сначала может показаться, что максимум перестаёт уменьшаться. Что он будет всё время чередоваться с нулями... Но это не так. Из-за соседства с нулями, при следующих шагах, все числа становятся равными этому максимуму... А потом все числа становятся нулями.

С ходу придумать пример необнуления не получалось, и тогда я написал Костику, который сейчас в Минске. Он заинтересовался не сразу; но, с конце концов, он ответил:

"Простая задача. Дело не в несоизмеримости, а в порядке этих числе и отношениях.
Если, например, a<b,d<c, то после 6-ой итерации все числа станут нулями. Но возьми числа 1,x,x^2,x^3, где x^3=x^2+x+1, и нули никогда не появятся".

Итак: идея была в том, чтобы на каждом шаге сохранялась соразмерность чисел, чтобы очередная четвёрка была пропорциональна предыдущей! Тогда нули никогда не появятся. Довольно просто, -- но вначале, почему-то, эта мысль не приходит...

 

[Виктор]

То есть: эти задачи были некоторой вехой для меня, эти месяцы. Были и задачи, использующие довольно сложные разделы, -- теорию множеств; ряды Фурье; ряд задач были на корни многочленов, и т.д.
Однако, примечательность задачи о четырёх числах в том, что её можно решить, не обращаясь к сколько-нибудь сложным разделам.
Как и, например, и мою загадку о тени.
В эти месяцы, -- в ноябре, например, -- я "активизировался" в том смысле, что снова стал её загадывать окружающим. Никто не угадал, -- по крайней мере, никто не угадал без подсказок.
На протяжении двух-трёх лет эта загадка у меня, время от времени, возникала. Первые мысли, которые обычно приходили тем, кому я её загадывал: ожог; раковая опухоль; температура и др. То есть: возможность того, что это что-то материальное, у них или не отметалась, или отметалась не сразу.

 

[Виктор]

Ох уж эта теорема Морера...

В марте я обратил внимание на другую олимпиадную задачу, из того же сборника.

Доказать, что функция f(z), аналитическая в круге |z|<1, непрерывная при |z|<=1 и принимающая действительные значения на окружности |z|=1, есть тождественная константа: f(z)=c, c € R.

И снова я вначале оказался в тупике. Я не специалист по ТФКП, -- и для решения требовалось обновить многое в моей памяти, по этому предмету. И, все равно, чтение учебников мало что подсказывало. Аналитичность функции означает возможность разложения в ряд Лорана нужного вида/в ряд Тейлора, и можно было бы убедиться в том, что условие обнуление мнимой части функции на окружности означает обнуление коэффициентов ряда...
Но вот незадача: такой ряд существует в каждой точке круга, -- но это не значит наличие такого ряда, единого дня всего круга!

Я понял, что снова не справляюсь, и снова написал Костику. Он молчал, на этот раз, дольше, чем в случае с задачей о 4 числах. Но потом ответил:

"Относительно задачи про аналитическую в круге функцию предлагаю тебе применить принцип симметрии Шварца. Рассмотри функцию f^*(1/z^*) вне круга (звездочка — это комплексное сопряжение), и убедись, что на всей плоскости получаешь аналитическую функцию (как раз за счет вещественности на окружности). Затем можно применить принцип максимума".

На этот раз, я тоже раздумывал куда дольше, -- и, в один момент, даже подумал, что Костик, на сей раз, ошибся. Ведь функция, вид которой он привел, является сложной функцией, -- значит, при приближении к границе снаружи, извне, у производной этой функции должен выскакивать множитель, равный --1/z^2. А тогда равенство производных, в какой-то точке окружности, при приближении снаружи и изнутри, может нарушаться.

Я написал снова, он ответил:

"С чего это выскочит множитель? Не вижу. Делить нужно все равно на z-z0 по определению производной.

В любом случае, ты можешь по интегралам посмотреть. Интегралы по контурам будут равны нулю";

"Не понял.
Для точки z0 на окружности
f*(1/z0*)=f(z0)

Поэтому предел (f*(1/z*)-f*(1/z0*))/(z-z0) когда z движется снаружи= Предел (f(z)-f(z0))/(z-z0) когда z движется изнутри.

Но это нужно доказывать. Может быть сложно.
Проще становить, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю (теорема Морера)".

Я снова погрузился в раздумья. И, в итоге, убедиться в равенстве производной, при движении z снаружи и изнутри, я оказался пока не в силах. Но я посмотрел про теорему Морера... До этого я о ней даже не знал!!! Она утверждает, что равенства нулю интеграла по любому замкнутому контуру и достаточно (а не только необходимо, что более известно) для аналитичности функции.

Я продолжил писать Костику, поскольку мне было непонятно даже то, что сами условия, нужные для применения теоремы Морера, будут выполняться.
Он ответил:

"Ну так снаружи тоже аналитическая функция, и там тоже интеграл по замкнутому кругу равен нулю. Если контур пересекает окружность, то нужно пройтись вдоль окружности туда-сюда и разделить на два (или больше) интегралов по контурам с разных сторон".

Я, в итоге, все равно, оказался не до конца убеждён. Задача явно более сложная, чем предыдущие, с которыми я к нему обращался!

Но: если всё это верно, то потом всё понятно. Теорема Морера будет утверждать, что функция будет аналитической во всей комплексной плоскости. А такой функцией может быть только константа, постоянная -- это известный факт. И, так как в условии сказано о действительности значений на окружности, то это будет действительная константа.

 

[Виктор]

Завтра Всемирный день привидений...

"Карола немного послушала, о чём говорит учительница. Какое-то непонятное слово — претерит.
— Всё равно вы моя любимая мамочка, — шепнул опять голосок. — Это вы ведь
меня выдумали. И произошло это 13 мая в 13 часов 13 минут.
— Ну и что?
— Милая мамочка, неужели вы не знаете, что тринадцатое мая — Всемирный день привидений. И все привидения, выдуманные 13 мая в 13 часов 13 минут, непременно увидят свет.
— В нашем календаре никакой Всемирный день привидений не значится.
— У вас не тот календарь. Во всяком случае, 13 мая в 13 часов 13 минут вы поступили весьма безответственно. Вы же показали на шкаф и заявили, что шкаф и есть привидение. И мне пришлось тут же превратиться в шкаф".